"Il suo desiderio era diventare avvocato" non è una frase subordinata, ma un periodo (costituito quindi da frasi, principali e subordinate). La subordinata è individuabile in "diventare avvocato". Si tratta di una soggettiva. Pur non costituendo il soggetto del verbo reggente (che è invece "il suo desiderio"), ne rappresenta il predicato nominale (che, se appare in forma frastica, può essere una subordinata soggettiva).
In "Il suo desiderio, diventare avvocato, sembrava ambizioso." "diventare avvocato" ha uno statuto particolare: non è una subordinata in senso stretto dato che non dipende da una frase reggente (che avrebbe al centro un verbo reggente). Dipende invece da "il suo desiderio", di cui è un'apposizione.